আসুন একটু বিজ্ঞানী বিজ্ঞানী ভাব নেই (প্রশ্নঃ শ্রডিঞ্জারের ওয়েভ ইকুয়েশনের বর্গ কেন ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা?)

২৬ শে ডিসেম্বর, ২০১৯ সকাল ৮:০৫

উপরের সমীকরণটি হচ্ছে শ্রডিঞ্জারের ওয়েভ ইকুয়েশন। কোয়ান্টাম মেকানিকস সম্পর্কে যাদের একটুআধটু জানাশোনা আছে তাদের সবার কাছেই এই সমীকরণটি বাইবেলের মত। একটু খেয়াল করুন এই সমীকরণের বাম পাশে i লিখা। এই i মানে হচ্ছে সমীকরণটির বাম পাশ অবাস্তব বা কাল্পনিক কিন্তু ডান পাশ বাস্তব। এই সমীকরণের মজাটাই এইখানে। আমরা সাধারণত জানি একটা সমীকরণের ডান পাশ বাম পাশ সমান হওয়া উচিত। এই শ্রডিঞ্জার ইকুয়েশনে কিন্তু এইটা হচ্ছে না। বাম পাশ কাল্পনিক আর ডান পাশ বাস্তব। আজকের লেখা এই মহান i কে নিয়েই। তার আগে নিচের ছবিটার দিকে একটু খেয়াল করুন





উপরের ছবিটার বাম পাশ হচ্ছে ওয়েভ ফাংশন। এইটার কোন বাস্তব মিনিং নাই। এইভাবে বলতে পারেন শ্রডিঞ্জার ওয়েভ ইকুয়েশনের সমাধান হচ্ছে এই ওয়েভ ফাংশন। এইটা মিনিংফুল তখনই হয় যখন এই ওয়েভ ফাংশনকে বর্গ করা হয়। ওয়েভ ফাংশনের বর্গ হচ্ছে একটি ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা। যা একটি বাস্তব ঘটনা। একটু খেয়াল করুন একটা ওয়েভ ফাংশনকে বর্গ করলে একটি কণা পাওয়ার সম্ভাবনা পাচ্ছি। যা একটি গ্রহণযোগ্য ঘটনা কিন্তু প্রশ্ন হচ্ছে কেন ওয়েভ ফাংশনকে বর্গ করলে একটি বাস্তব মান পাওয়া যায়? এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে হলে আমাদের বুঝতে হবে কাল্পনিক সংখ্যা বা জটিল সংখ্যা। আমি খেপ মারার সময় প্রায়ই একটা কথা বলি জগতের সকল সংখ্যাই জটিল সংখ্যা। জটিল সংখ্যা i হচ্ছে -১ এর বর্গমূল। আপনি আমি কিন্তু ২ এর বর্গমূল বের করতে পারি যা প্রায় ১.৪১...। আপনি ৩ এর বর্গমূল ও বের করতে পারবেন যার মান প্রায় ১.৭১...।কিন্তু আপনাকে যদি বলা হয় -২, -৩ এইসবের বর্গমূল বের করতে আপনি কিন্তু পারবেন না। এই -২ এর বর্গমূল হবে i১.৪১......। ঠিক একইভাবে -৩ এর বর্গমূল হবে i১.৭১...।তার মানে কোন ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল একটি কাল্পনিক সংখ্যা যাকে প্রকাশ করতে i দরকার।শ্রডিঞ্জারের ইকুয়েশনের যে i নিয়ে মহা যন্ত্রণায় পড়লাম সেইটা হচ্ছে এই i। এখন এই i কে কিভাবে প্রকাশ করা হয়? যেমন ধরুন একটা জটিল সংখ্যা ৩+i৪ এইখানে ৩ হচ্ছে বাস্তব কিন্তু i৪ হচ্ছে অবাস্তব। এই সংখ্যাটাকে প্রকাশ করতে হয় এইভাবে



উপরের ছবিটার দিকে লক্ষ করুন x-অক্ষ বরাবর ৩ ঘর যাওয়া হয়েছে, y- অক্ষ বরাবর ৪ ঘর যাওয়া হয়েছে। ফলে AB বরাবর ৩ ঘর যাওয়ার পর BC বরাবর ৪ ঘর গেলে C বিন্দুতে যেই সংখ্যাটি পাওয়া যাবে সেইটা হচ্ছে ৩+i ৪। এখন একটা প্রশ্ন আশাটাই স্বাভাবিক AC এর দৈর্ঘ্য যে ৫ হল এই কিভাবে করা হল? জটিল সংখ্যাকে ডিফাইন করতে হলে দুইটা জিনিস দরকার প্রথমত মূল বিন্দু হতে সংখ্যাটির দুরুত্ব অর্থাৎ A বিন্দু হতে C বিন্দুর দুরুত্ব আর দ্বিতীয়ত এই AC x-অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোন তৈরি করে। প্রথমতাকে বলা হয় মডুলাস, দ্বিতীয়টাকে বলা হয় আর্গুমেন্ট। তো চলুন মডুলাস বের করে ফেলি মহান পিথাগোরাসের সূত্র দিয়ে- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ হবে ভূমি আর লম্বের বর্গের যোগফলের সমান। যেখান থেকে AC বের হবে ৫।



আর্গুমেন্ট কত হবে? BC এর দৈর্ঘ্যকে AB এর দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করার পর সেইটাকে ট্যাঞ্জেন্ট করলেই উত্তর বের হবে। এই আর্গুমেন্ট নিয়ে আপাতত মাথা ব্যথা না করলে চলবে।

দেখুন ৩+i৪ এই জটিল সংখ্যা মিনিংফুল হয় তখনই যখন এর মডুলাস বের করা হল। আর ৩+i৪ এর মডুলাস হচ্ছে ৫। যা একটা বাস্তব মান। ঠিক একইভাবে শ্রডিঞ্জারের ইকুয়েশন থেকে বাস্তব কিছু পেতে হলে আমাকে i এর মডুলাস বের করতে হবে। তো কিভাবে মডুলাস বের করব? আমি কিন্তু একটু আগেই ব্যাখ্যা করেছি ।

শুধু বর্গ করলেই হবে। ঠিক এই কারণে ওয়েভ ইকুয়েশনের বর্গ হচ্ছে ইলেকট্রন পাওয়ার সম্ভাবনা। ওয়েভ ইকুয়েশন একটা প্রবাবিলিটি ফাংশন ছাড়া কিছুই না। এই ওয়েভ ইকুয়েশনের বর্গ করলে যে একটা বাস্তব সম্ভাবনা পাওয়া যাবে এইটা বোর্ণ রুল নামেও পরিচিত।

ফান ফ্যাক্টঃ সম্ভাবনার মান সাধারণত ধনাত্বক হয় কিন্তু ঋণাত্মক মান ফিজিক্সে অ্যান্টি পার্টিকেল সম্পর্কে ধারনা দেয়।

৮ টি +৫/-০