প্রমানের অপেক্ষায় থাকা গণিত

৩০ শে সেপ্টেম্বর, ২০১৩ রাত ১:৪৪

গোল্ডবাখের অনুমান [১]

"দুই এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যায়।"

এই অনুানটির সত্য নাকি মিথ্যা তা এখনো প্রমানিত নয়।



সংখ্যা তত্ব এবং গণিতের প্রাচীন এবং পরিচিত অপ্রমানিত সমস্যা হল এটি। এটি গোল্ডবাখের অনুমান নামে পরিচিত। ২ এর চেযে বড় জোড় যেই সংখ্যাগুলোকে এভাবে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল প্রকাশ করা যায়, তাদেরকে গোল্ডবাখ নাম্বার বলে। জার্মান গণিতবিদ গোল্ডবাখ এই অনুমানটি সবার সামনে আনেন। যেমনঃ



4 = 2+2

5 = 3+2

7 = 5+2

10 = 7+3 or 5+5



কিভাবে আসল এই অনুমান? [২]

৭ জুলাই ১৭৪২ জার্মান গণিতবিদ ক্রিস্চিয়ান গোল্ডবাখ তারই মত আরেক গণিতবিদ লিওনার্দো অয়লার কে লেখা একটি চিঠিতে এই অনুমানটির উল্লেখ করেন। অয়লার এমন একজন গণিতবিদ যিনি ৫৯ টি বন্ধু সংখ্যা খুজে পান। তার পূর্বে ২০০ বছরে মাত্র ২ টি বন্ধু সংখ্যার সন্ধান মিলেছিল। বন্ধু সংখ্যা হল এমন দুটি সংখ্যা যাদের একটির প্রকৃত উৎপাদকগুলোর সমষ্টি দ্বিতীয় সংখ্যাটি, এটি অপর সংখ্যার জন্যও সত্য। অর্থাৎ এদের প্রকৃত উৎপাদকগুলোর সমষ্টি অপর সংখ্যাটি। পিথাগরাসও তার এক শিষ্যের "বন্ধু কি?" এমন প্রশ্নের জবাব দিয়েছিলেন এই বন্ধু সংখ্যা দিয়ে। পিথাগরাসের ভাষায় ২২০ ও ২৮৪ এদের ভিতর যে সম্পর্ক তাই বন্ধুত্ব। যাই হোক, ফিরে আসি গোল্ডবাখের চিঠিতে। তিনি চিঠিতে লেখেন-

"প্রতিটি পূর্ন সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যায়, এমনকি এটিকে যেকোন সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যাবে যতক্ষন না ১ পর্যন্ত পৌছুনো হবে"।



এখানে গোল্ডবাখ ১ কে মৌলিক সংখ্যা হিসেবে ধরেছেন। এখন এই ধারনাটি পরিত্যক্ত। তিনি চিঠির মার্জিনের পাশে তার আরেকটি ধারনা উল্লেখ করেন, এটিকে নিচের মত করে বলা যেতে পারে-

"২ এর চেয়ে বড় সব জোড় পূর্ন সংখ্যাকে তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়"।



এই চিঠিটি letter XLIII নামেও পরিচিত। লিংকটিতে গিয়ে জার্মান চিঠিটি পড়েও নিতে পারেন।



অয়লার ৩০ জুন তার উত্তরে গোল্ডবাখকে তাদের পূর্বের পত্রালাপের বিষয়টি মনে করিয়ে দেন যেখানে গোল্ডবাখ নিচের উদ্ধৃত অনুমানটি অয়লারকে জানিয়েছিলেন-

"২ এর চেয়ে বড় সব জোড় পুর্ন সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়"।



এই অনুমানটি গোল্ডবাখ চিঠিতেই উল্লেখ করেন, মার্জিনের পাশে না। অয়লারও এটিকে থিওরেম হিসেবে গন্য করতেন কিন্তু তিনিও এটি প্রমান করতে পারেননি এমনকি এটি তিনি চিঠিতে উল্লেখও করেন।



সবার শেষে আমি যেই অনুমানটি উল্লেখ করেছি সেটি "strong" বা "even" গোল্ডবাখ অনুমান হিসেবে পরিচিত। এটির একটি বিজোড় রুপও আছে। যেটি "week" বা "odd" গোল্ডবাখ অনুমান হিসেবেও পরিচিত। এটির বিবৃতি নিচের মত-

"৭ এর চেয়ে বড় সব বিজোড় সংখ্যাকে তিনটি প্রাইম বিজোরের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়"।



স্ট্রং গোল্ডবাখ অনুমান এখনো অপ্রমানিত।



প্রমানের চেষ্টায়?

নীলস পিপিং ১৯৩৮ সালে ১০০০০০ পর্যন্ত এই অনুমানটি সত্যতা যাচাই করেন। টি অলিভেইরা ই সিলভিয়া ৪০০০০০০০০০০০০০০০০০০ পর্যন্ত এটি যাচাই করেন, ৪০০০০০০০০০০০০০০০০ পর্যন্ত দুইবার করে যাচাই করেন।

৪ টি +০/-০