গণিত গল্পগ্রন্থ "ভয়ংকর সারাসিন জাদু"র পাতা থেকে

৩১ শে ডিসেম্বর, ২০১৭ সন্ধ্যা ৭:০১

“আপুর বইয়ে একটা অঙ্ক দেখলাম, বাবা, তৈলাক্ত বাঁশ বেয়ে উপরে উঠছে এক বানর,” ছুটির এক অপরাহ্নে আমার ছোট মেয়ে ফারিনের হঠাৎ ঘোষণা।

সোফায় বসে জীবনানন্দের কবিতা গুনগুন করছিলাম আমি, “পৃথিবীর এই সব গল্প বেঁচে রবে চিরকাল; এশিরিয়া ধুলো আজ বেবিলন ছাই হয়ে আছে।” কবিতার বই বন্ধ করে মেয়ের দিকে তাকাই। ফারিনের পেছনে বসে তার চুল আঁচড়ে দিচ্ছিলেন মেয়ের মা, চিরুনি ধরা হাত থেমে যায় তাঁর। ঘরের এক কোনায় দাদাবাড়ি থেকে আনা পেপেরোমিয়া গাছটির ভেতর উদ্ভিদের পানি ও খনিজ লবণ পরিবহনের ঘটনা নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করছিল আমাদের বড় মেয়ে মানহা, কাজ বন্ধ করে বোনের দিকে তাকায় সে। এমনকি সারাক্ষণ খুনসুঁটিতে ব্যস্ত ফারিনের বেড়ালছানা আল-কিন্দি আর মানহার খরগোশ লীলাবতীও তাদের দ্বন্দ্ব বন্ধ করে উৎকর্ণ হয়ে উঠে।

সকলের মনোযোগ নিবদ্ধ হয়েছে, নিশ্চিত হওয়ার পর ফারিন বলল, “বানরটি প্রথম মিনিটে ৬ মিটার উঠে যায়, কিন্তু পিচ্ছিলতার কারণে পরবর্তী মিনিটে ২ মিটার নেমে যায়। এভাবে উঠানামা করতে থাকলে বাঁশের অগ্রভাগে পৌঁছতে বানরটির কত সময় লাগবে যদি বাঁশের উচ্চতা ৪০ মিটার হয়?”
“অঙ্কের যেন বয়সের গাছ-পাথর নেই!” হাসতে হাসতে আমার স্ত্রী বললেন। “আমার মা করেছেন এই অঙ্ক, আমিও করেছি, আর এখন করছে আমার মেয়েরা।”
“নানুর মা-ও কি সমাধান করেছিলেন এই অঙ্ক?” প্রশ্ন করে ফারিন। এটি আসলে তার প্রসঙ্গক্রমিক কৌতূহলের একটি উদাহরণ মাত্র। ফারিনের তীব্র কৌতূহলের ব্যাপারে যারা অবগত নয়, তারা ভাবতে পারে দ্রুত আগ্রহ হারিয়ে প্রসঙ্গান্তরে চলে যায় সে, কিন্তু বিষয়টি আসলে উল্টো। প্রশ্ন করার নির্ভীক, অদম্য এক মনোভাব রয়েছে ফারিনের। যথাসময়ে মূল বক্তব্য উপস্থাপন করবেই সে।
“সে তো জানি না, মা,” জবাব দেন আমার স্ত্রী। “আজকেই তোমার নানুকে জিজ্ঞেস করব এ ব্যাপারে।”

“কিন্তু বানররা কি এরকম করে বাবা?” আমার দিয়ে তাকিয়ে এবার প্রশ্ন করে ফারিন। “আর এই অঙ্ক করেই বা কী হবে?”
“তৈলাক্ত বাঁশ বেয়ে উঠার মতো বোকামি বা বাঁদরামি বানররা হয়তো কখনো করবে না,” মেয়ের দিকে তাকিয়ে আমি বলি। “সমস্যাটি যারা তৈরি করেছেন, তারা বাস্তব জীবনের সাথে মিল রেখে একে তৈরি করতে পারতেন। তবে কোনো গণিতই অর্থহীন নয়, কারণ গণিত গুছিয়ে চিন্তা করতে শেখায়, চিন্তার জগতকে প্রসারিত করে। যেকোনো বিষয়কে সুস্পষ্টভাবে প্রকাশ করতে পারে গণিত, ফলে তা বুঝতে সহজ হয়।”
“কিন্তু, বাবা, এটি তো খুব সরল অঙ্ক। এতে কীভাবে চিন্তা প্রসারিত হবে?”
“বানরের এই অঙ্কটিতেও রয়েছে চিন্তার যথেষ্ট অবকাশ, যুক্তি প্রয়োগের চমৎকার সুযোগ। অঙ্কটি তুমি কীভাবে সমাধান করবে, বলো?”
ফারিন বলল, “বানরটি প্রথম ১ মিনিটে উঠে ৬ মিটার, পরবর্তী ১ মিনিটে নেমে যায় ২ মিটার। সুতরাং প্রতি ২ মিনিটে বানরটি প্রকৃতপক্ষে উঠে (৬ – ২) বা ৪ মিটার, তাই না?”
“হ্যাঁ, তা ঠিক আছে।”
“এখন ঐকিক নিয়মের সাহায্যে সহজেই আমরা পাই,
৪ মিটার উঠতে সময় লাগে ২ মিনিট
বা, ১ মিটার উঠতে সময় লাগে ২/৪ মিনিট
∴ ৪০ মিটার উঠতে সময় লাগে (৪০ × ২/৪ ) মিনিট বা ২০ মিনিট। হয়েছে, বাবা?” আমার দিকে তাকায় ফারিন।
“না, হয়নি,” বললাম আমি। “তবে তোমার চেষ্টা অবশ্যই প্রশংসার দাবিদার।”

আপাত সাধারণ অঙ্কটি হয়নি দেখে মন খারাপ হয় মেয়ের। তার মাথায় হাত বুলিয়ে দিয়ে বলি, “আমি এখন পর্যন্ত এমন কাউকে পাইনি যারা বানরের এই অঙ্ক জীবনে প্রথম বার সঠিকভাবে সমাধান করতে পেরেছিল। সুতরাং তোমার মন খারাপ করা উচিত নয়। প্রচেষ্টা এবং প্রচেষ্টার ভুল থেকে শিক্ষা লাভ করাই সবচেয়ে বড় ব্যাপার। এর জন্য আমাদের দরকার শুধু চিন্তাভাবনা আর সে অনুযায়ী কাজ শুরু করে দেয়া। বানরের এই অঙ্কে তোমার ভুলটি পর্যালোচনা করা যাক।”
“ঠিক আছে, বাবা।” দূর হয় ফারিনের মুখের মেঘ।
“বানরটি প্রতি ২ মিনিটে নীট (৬ – ২) বা ৪ মিটার উঠে, এই উপাত্ত তুমি প্রয়োগ করেছ একেবারে বাঁশের আগা পর্যন্ত। অর্থাৎ তুমি ধরে নিয়েছ, শেষ দুই মিনিটেরও ১ম মিনিটে বানরটি উঠবে ৬ মিটার এবং পরবর্তী মিনিটে, অর্থাৎ শেষ মিনিটে, নামবে ২ মিটার; এভাবেই থামবে সে বাঁশের আগায়, তাই না?”
“এভাবেই তো বানরটি উঠানামা করছে।” ফারিনের স্বরে কিছুটা দ্বিধা।
“কিন্তু এর জন্য তো বানরকে শেষ মিনিটের আগের মিনিটে বাঁশের আগা ছাড়িয়ে খোলা আকাশে চলে যেতে হবে, তারপর সেখান থেকে নামতে হবে। সেখানে কি তৈলাক্ত বাঁশের নিয়ম খাটবে? তাছাড়া উঠার পথেই তো বাঁশের আগায় পৌঁছা হয়ে গেল বানরের, খোলা আকাশে উঠে কেন নামতে হবে?”

“কার্টুনে অবশ্য টমের তাড়া খেয়ে জেরি কিংবা স্পাইকের তাড়া খেয়ে টম কখনো কখনো গাছ বা কোনো খুঁটি বেয়ে একেবারে খোলা আকাশে উঠে যায় আর সাঁতার কাটার মতো করে ভাসতে থাকে। তারপর যখনই নিচের দিকে তাকায়, দড়াম করে আছড়ে পড়ে তারা। কিন্তু সে তো কেবল মুভি, বাস্তবে এরকম হয় না। আর সেখানে কোনো বানরের ঘটনাও দেখিনি।” নিরীহ ভাব করে বলে মানহা।
মুখ টিপে হাসতে হাসতে মানহাকে ইশারা করেন আমার স্ত্রী, ছোটবোনকে যেন না ক্ষেপায়।

মানহার দিকে তাকিয়ে প্রায় চিৎকার করে উঠে ফারিন, গণিত চিন্তার প্রবল একটি স্রোতোধারার তোড়ে বড় বোনের প্রতি তার রাগের সম্ভাব্য উন্মেষ উড়ে যায় যেন,“হ্যাঁ, ধরতে পেরেছি, বাবা। শেষ এক মিনিটে ৬ মিটার উঠে বাঁশের আগায় পৌঁছার পর কাজ শেষ হয়ে গেল বানরের। সুতরাং বানরটি উঠানামা করবে (৪০ – ৬) বা ৩৪ মিটারের মধ্যে, আর শেষ ৬ মিটার কেবল উঠবে। এখন ৩৪ মিটার উঠানামা করতে সময় লাগবে (৩৪ × ২/৪ ) বা ১৭ মিনিট। অতএব বাঁশের আগায় পৌঁছতে সময় লাগবে সর্বমোট (১৭ + ১) বা ১৮ মিনিট। ঠিক আছে?”
“প্রায়, তবে পুরোপুরি নয়,” হেসে বলি আমি। “অনেকে এভাবেই সমাধান করে বানরের অঙ্কটি। এতে ক্ষেত্রবিশেষে অনেক সময় ফল হয় সঠিক, কিন্তু পদ্ধতিটি যথাযথ নয়।”

“আবার কী সমস্যা?” পুঁচকে অঙ্কটির বেয়াড়াপনায় ফারিন এবার সত্যিই বিস্মিত।
“তুমি কীভাবে জান যে বানরটি তার পথের শেষ অংশে ঠিক ৬ মিটার উঠেই আগায় পৌঁছবে? এমনকি হতে পারে না, বানরটি উঠানামা করতে করতে একসময় আগার বেশ কাছে চলে আসলো, ৬ মিটারের চেয়েও কম দূরত্বে? তখন তো শেষ অংশে তার সময় লাগবে ১ মিনিটের কম।”
“কিন্তু, বাবা, ১৭ মিনিট উঠানামা করার পর যদি ৩৪ মিটার পর্যন্ত উঠে বানরটি, তাহলে ১৮তম মিনিটে বাঁশের আগায় পৌঁছবে না? এখানে ভুল কোথায়?”
“উঠা ও নামা বিপরীত দুটি ব্যাপার, এদের প্যাটার্ন লক্ষ করো ভালোভাবে। বানরটি ১ম, ৩য়, ৫ম অর্থাৎ বিজোড় মিনিটগুলোতে উপরে উঠে, কিন্তু ২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ অর্থাৎ জোড় মিনিটগুলোতে নিচে নামে। সুতরাং তুমি যে হিসেব করলে …”
“আরে, তাই তো! ১৭তম মিনিটে বানরটি উঠবে, ১৮তম মিনিটে নামবে। কাজেই ৩৪ মিটার উঠানামায় সময় লাগবে ১৭ মিনিট, হিসেবটিই ভুল। কিন্তু এই অঙ্ক আমরা এখন কীভাবে সমাধান করব?”

“সমস্যাটি আমরা সমাধান করব হিউরিসটিক (heuristic) পদ্ধতিতে,” হেসে বলি আমি।
“এ আবার কী পদ্ধতি, এর নাম তো শুনিনি?” অবাক হয় মানহা।
“এ হচ্ছে প্রয়াস ও প্রমাদের মাধ্যমে সমস্যা সমাধান করা।”
“সহজ করে বুঝিয়ে বলো, বাবা,” ফারিন বলল।

“প্রয়াস মানে প্রচেষ্টা আর প্রমাদ হচ্ছে ভুলভ্রান্তি, ইংরেজিতে বললে trial and error পদ্ধতি। অর্থাৎ আমরা সমাধানের চেষ্টা করব, কিন্তু প্রথমবারেই হয়তো সঠিক সমাধান পাব না। ভুল হবে আমাদের, তবু চেষ্টা চালিয়ে যাব। এভাবে ধীরে ধীরে একসময় সঠিক সমাধানটি নির্ণয় করে ফেলব। যুক্তিতর্কের সাহায্যে ভুলভ্রান্তি যাাচাই-বাছাই করে সমস্যা সমাধান করার এটি একটি শক্তিশালী পদ্ধতি।”
“তাহলে চলো, প্রচেষ্টা চালাই,” ফারিন বলল। “কিন্তু কীভাবে শুরু করব?”
“নতুন করে শুরু করতে হবে না, কারণ বানরের সমস্যাটিতে এ পদ্ধতি প্রয়োগ করে ইতোমধ্যে অনেকটা অগ্রসর হয়ে গেছি আমরা।”
“কখন, কীভাবে?” চিৎকার করে উঠে দুই বোন।
“এই যে, ফারিন দুই বার চেষ্টা করল, ভুল হলো তার, আর আমি যুক্তি দিয়ে তার ভুল সংশোধন করে দিলাম, এ-ই তো হিউরিসটিক পদ্ধতি।”
“ভুল করাও সমাধানের অংশ!” মানহা আশ্চর্য হয়।
“হ্যাঁ, ভুল এখানে সমাধানেরই অংশ,” বললাম আমি। “আমরা একটি আপাত সমাধান পেয়েছি, (১৭ + ১) বা ১৮ মিনিট। এটি ভুল হলেও এ থেকে পেয়েছি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য, ফলে সঠিক সমাধানের একেবারে দ্বারপ্রান্তে আমরা।” তারপর মানহার দিকে তাকিয়ে বলি, “তুমি কি পুরো সমাধানটি গুছিয়ে বর্ণনা করতে পারবে এখন?”

কিছুক্ষণ ভাবে মানহা। তারপর বলল, “পারব, বাবা। আমরা দেখতে পাচ্ছি, বানরটি তার পথের একেবারে শেষ অংশে পুরো ৬ মিটার উঠবে (১ মিনিটে) অথবা ৬ মিটারের কম উঠবে (১ মিনিটের কম সময়ে)। আমরা ধরে নেই, শেষ ১ মিনিটে সে ৬ মিটারই উঠবে। তাহলে বাকি ৩৪ মিটার সে উঠানামা করে অতিক্রম করবে মোট ১৭ মিনিটে।
কিন্তু ১৭তম মিনিটটি বিজোড়তম মিনিট, যে সময়ে বানরটির আসলে উপরে ‘উঠার’ কথা। সুতরাং ৩৪ মিটার-এর হিসেবটি ভুল এবং ১৭তম মিনিট বাদ দিয়ে মোট ১৬ মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্ব হিসেব করা যাক। যেহেতু বানরটি প্রতি ২ মিনিটে ৪ মিটার অতিক্রম করে, সেহেতু ১৬ মিনিটে সে অতিক্রম করবে ৩২ মিটার। বাঁশের আগায় পৌঁছতে তার বাকি থাকবে আর ৮ মিটার।
পরবর্তী ২ মিনিটে বানরটি অতিক্রম করবে আরও ৪ মিটার। সুতরাং বাঁশের আগায় পৌঁছতে শেষমেষ বাকি থাকবে ৪ মিটার, যা বানরটি ৪/৬ বা ২/৩ মিনিটে অতিক্রম করবে। অতএব ৪০ মিটার বাঁশের অগ্রভাগে পৌঁছতে বানরের মোট সময় লাগবে (১৬ + ২ + ২/৩ ) বা ১৮ সমস্ত ২/৩ মিনিট।”
“চমৎকারভাবে বর্ণনা করেছ তুমি, মানহাকে বললাম আমি। তারপর প্রশ্ন করলাম ফারিনকে, “বুঝতে পেরেছ?”
“হ্যাঁ,” মাথা দুলিয়ে উত্তর দিল ফারিন। “কত কিছুই না চিন্তা করতে হয়!”

“তাহলে দেখ, বানরের এই অঙ্ক থেকে আমরা দেখলাম, কীভাবে ধাপে ধাপে গুছিয়ে চিন্তা করতে হয়,” আমি বললাম। “তড়িঘড়ি চিন্তা করলে সহজ বিষয়েও ভুল হয়ে যেতে পারে আমাদের। আবার কোনো সমস্যায় একটি সমাধান পেলেই চট করে তার উপর সিদ্ধান্ত নিয়ে ফেলা ঠিক নয়। সমাধানটি যাচাই করে নেয়া উচিত। এই নিয়মটি মেনে চলবে জীবনের সব ক্ষেত্রে। তাতে সাময়িক ভুল হলেও চূড়ান্তভাবে সঠিক সিদ্ধান্ত নিতে পারবে তোমরা।”
“ঠিক আছে, বাবা।” দুই বোন গ্রহণ করে পরামর্শটি।
__________________________
লেখকের প্রকাশিতব্য গণিত গল্পগ্রন্থ ভয়ংকর সারাসিন জাদু থেকে নেয়া

৮ টি +০/-০