আইনস্টাইনের \'সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব (General theory of Relativity)\' কী \'শক্তির সংরক্ষণতার নীতি (law of Conservation Energy)\' লঙ্ঘন করে?

০৪ ঠা মে, ২০২৫ দুপুর ১:১৩

চলুন শুরু করি সেই গল্প, যেখানে আপনি, আমি আর আইনস্টাইন একটা টেবিলে বসে Universe-এর রহস্য নিয়ে চা খাচ্ছি। বাইরে বৃষ্টি পড়ছে, ভিতরে spacetime বাঁকছে। আমাদের সামনে ছড়িয়ে আছে কাগজ, কলম আর এক গাদা tensor। আলোচনার বিষয়: "General Relativity আদতে কি শক্তির সংরক্ষণ নীতিকে অমান্য করে?" আমরা কথা বলবো, হাসবো, চুল ছিঁড়বো, আর শেষে বুঝে যাবো যে এটা একটা মারাত্মক প্রেম কাহিনি, কিন্তু pure গণিতের ভাষায়।

এই গল্পটা শুরু হয় সেই সমীকরণ দিয়ে যা গোটা cosmos-এর নিয়ম লিখে দিয়েছে:

Gμν + Λgμν = (8πG / c⁴) Tμν

একটা equation, যার বাঁ পাশে spacetime-এর বাঁকানো হাড়গোড়, আর ডান পাশে matter ও energy-এর দলবল। এটা হল Einstein-এর field equation। Gμν বলছে geometry কীভাবে behave করছে, আর Tμν বলছে কোন matter কোথায় আছে, কীভাবে ঘুরছে, চাপ দিচ্ছে।

এই Gμν বানানো হয়েছে একটু হ্যান্ডক্রাফটেডভাবে:

Gμν = Rμν − (1/2) gμν R

এটা একদম elegant। এই formulation automatically ensure করে যে Gμν-এর divergence zero। আমরা জানি, conservation মানে divergence zero হওয়া, তাই এটা crucial। এখন Rμν কে কোথা থেকে আনবো?

তার আগে, scalar curvatureটা বুঝে নেই:

R = gμν Rμν

মানে, Ricci tensor এর contraction। scalar বানিয়ে আমরা বুঝি মোটামুটি spacetime কতটা বাঁকা overall।

আর Ricci tensor বানাতে দরকার Christoffel symbol, যেটা হল connection coefficient। এটাতেই লুকিয়ে আছে spacetime-এর ঢেউ খাওয়ার রহস্য:

Γσμν = (1/2) gσλ (∂μ gλν + ∂ν gμλ − ∂λ gμν)

এই symbol আসলে বলে দেয়, vector গুলো কেমন করে parallel transport-এ বদলায়।

এর derivative আর নিজস্ব interaction নিয়ে গড়ে ওঠে Ricci tensor:

Rμν = ∂λ Γλμν − ∂ν Γλμλ + Γλμν Γσλσ − Γλμσ Γσνλ

এই tensor বলছে spacetime-এর local curvature কীভাবে তৈরি হয়েছে।

এখন আপনি বলবেন, “ঠিক আছে, curvature পেলাম, matter পেলাম, কিন্তু শক্তির সংরক্ষণ কই?”

সেটার উত্তরটা tensor ভাষায় এমন:

∇μ Tμν = 0

এখানে ∇μ মানে covariant derivative, কারণ curved spacetime-এ সাধারণ derivative দিয়ে কাজ চলে না। এই law বলছে, একেবারে local scale-এ energy-momentum মোটামুটি conserved।

কিন্তু আপনি বলবেন, “আমার তো global conservation লাগবে।” তখন আমরা বলবো: Noether theorem চালু করো!

d/dt (∂L / ∂(∂₀φ)) = 0

Noether theorem বলছে: যদি Lagrangian সময়ের প্রতি invariant হয়, তাহলে energy conserved থাকবে।

General Relativity-তে spacetime নিজেই dynamic, তাই global time symmetry থাকে না। তখন আমরা ধরে নেই:

∇μ (Tμν + tμν) = 0

এই tμν হল pseudo-tensor। coordinate system এর ওপর নির্ভরশীল, তাই পুরোপুরি বিশ্বাস করা যায় না, কিন্তু কোনো coordinate-এ conservation দেখাতে চমৎকার।

এখন আপনি ধরলেন Universe পুরো homogeneous আর isotropic। তাহলে spacetime কেমন?

ds² = −c²dt² + a²(t) [dr² / (1 − kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²)]

এই হলো FLRW metric, যেটা দিয়ে পুরো cosmology চলছে।

এই metric বসিয়ে Einstein equation solve করলে আসে Friedmann equation:

H² = (8πG / 3)ρ − (kc² / a²) + (Λc² / 3)

H এখানে হল Hubble parameter, মানে Universe expand হচ্ছে কত দ্রুত।

এবার expansion এর ফলে density কেমন বদলায়? fluid equation বলছে:

∂ρ/∂t + 3H (ρ + p/c²) = 0

মানে, Universe বড় হচ্ছে মানেই energy density কমছে।

এই equation solve করলে:

ρ ∝ a⁻³ যদি Universe matter-dominated হয়
ρ ∝ a⁻⁴ যদি radiation-dominated হয়

Energy কমছে শুনেই চিৎকার করতে যাবেন, কিন্তু থামুন। আমি বলবো curved spacetime-এ energy আর আগের মতো conserved scalar quantity না। তাই আসি ADM energy-তে:

EADM = (1 / 16πG) ∮ (∂j gik − ∂i gjk) nj dSk

এই integral asymptotically flat spacetime-এর boundary থেকে energy estimate করে।

এখন Universe-এর দুই প্রান্তে যদি gravitational wave ছুটে বেড়ায়, তারা কি energy বহন করে?

অবশ্যই করে:

tμνGW = (1 / 32πG) ⟨∂μ hαβ ∂ν hαβ⟩

hαβ হল wave-induced perturbation, ⟨⟩ হল averaging। অনেক জায়গায় gravitational wave এর energy-momentum এটাতেই মাপা হয়।

আরও elegant structure আছে—Bel–Robinson tensor:

Tαβγδ = Cαμγν Cβμδν + Cαμδν Cβμγν

এখানে C হল Weyl tensor, যা gravitational degrees of freedom ধরে।

Numerical relativity-তে spacetime-কে ভাগ করে দুইটা constraint লাগে। প্রথমটা Hamiltonian:

R + K² − Kij Kij = 16πG ρ

এই equation hypersurface এর initial geometry এবং energy density ব্যালেন্স করে।

দ্বিতীয়টা momentum constraint:

∇j (Kij − gij K) = 8πG ji

এখানে spatial momentum flux ও geometry এর সম্পর্ক ব্যাখ্যা করা হয়।

শেষের দিকে আসছি। এখন যদি energy density কে integrate করি:

ΔE = ∫ T₀₀ √(−g) d³x

এটা হল total energy। তবে spacetime যদি asymptotically flat না হয়, তাহলে এটা globally conserved quantity হয় না।

সবশেষে, সেই মহাজ্ঞানী equation, যেটা বিখ্যাত হয়ে গেছে pop culture-এ:

E = mc²

Mass আর energy একে অপরের রূপ। General Relativity-তেও localভাবে এটা একদম ঠিকঠাক চলে।

তাহলে শেষ প্রশ্ন: আইনস্টাইন কি energy conservation-কে অমান্য করলেন?

না ভাই। তিনি শুধু বললেন, “আপনার আগের সরল ধারণা tensor এর মধ্যে ঢুকিয়ে দিন।” spacetime বাঁকছে, geometry কথা বলছে, এবং conservation একটা নতুন রূপ নিচ্ছে।

আপনি যদি পুরনো Newtonian intuition থেকে বেরোতে না চান, spacetime চুপ করে দাঁড়িয়ে থাকবে, কিন্তু মুচকি হাসবে। আর যদি আপনি সত্যিই বুঝে ফেলেন, তাহলে আপনার মুখে একটা শব্দই আসবে: “Relativity rocks!”

০ টি +০/-০